Вопросы к зачету по геометрии для группы угл. мат. 11 класса за второе полугодие (15.05)


Страница для печатиSend by emailPDF версия

Программа зачета по геометрии за второе полугодие (15.05).
Учебник – A.Д. Александров и др.: главы VI, VIIи §47 главы IX.
 
1. Определение, обозначение, изображение и способы задания векторов. Определения равных, противоположных, сонаправленных, противоположно направленных, коллинеарных и компланарных векторов.
 
2. Определения линейных операций над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Правило треугольника для сложения векторов и доказательство его корректности. Обоснования правил многоугольника, параллелограмма и параллелепипеда для сложения и правила треугольника для вычитания векторов. Законы сложения векторов и умножения вектора на число и их доказательство.
 
3. Аффинный базис прямой, плоскости, пространства и его ориентация. Необходимые и достаточные условия коллинеарности и компланарности векторов. Теорема о разложении вектора по базису в пространстве и следствия из нее. Разложение вектора на составляющие. Координаты вектора, линейные операции над векторами в координатной форме.
 
4. Определение центроида системы точек, Н. и Д. условие того, что М – центроид {Ai}, существование и единственность центроида, способы поиска центроидов стандартных тел. Радиус - вектор точки, задание фигур в пространстве векторными соотношениями.
 
5. Определение скалярного умножения векторов и следствия из него. Доказательство законов скалярного умножения. Определения ортогонального и ортонормированного базисов. Скалярное умножение векторов в ортонормированном базисе.
 
6. Примеры применения векторов к решению геометрических задач и доказательству теорем.
 
7. Аффинная система координат и ее элементы. Определение координат точки в аффинной системе координат. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Задачи о вычислении координат точек, опирающиеся на векторные соотношения. Декартова система координат, вычисление расстояния между точками.
 
8. Определение уравнения фигуры в пространстве. Примеры задания фигур системами уравнений или неравенств. Вывод уравнений прямой и плоскости (канонический и параметрический вид) и уравнения сферы. Примеры составления уравнений прямых, плоскостей и сфер при различных способах их задания. Определение ГМТ в пространстве. Примеры соотношений, задающих основные ГМТ в пространстве.
 
9. Векторные и координатные условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве; параллельности плоскостей; параллельности прямой и плоскости; перпендикулярности прямой и плоскости. Вывод формул для вычисления: угла между прямыми; угла между плоскостями; угла между прямой и плоскостью; расстояния от точки до плоскости.
 
10. Понятие о поверхности тела и ее площади. Теорема о связи объема и площади поверхности многогранника с радиусом вписанного в него шара. Вывод формул для вычисления площади поверхности цилиндра, конуса, усеченного конуса, сферы, сферического сегмента.
 
11. Определения отображения (преобразования) фигур в пространстве, взаимно - однозначного преобразования, обратного преобразования, композиции преобразований. Определения неподвижных точек, прямых и плоскостей. Примеры различных преобразований, отличных от подобий. Тождественное отображение.
 
12. Определение движения и общие свойства движений. Виды движений (центральная и зеркальная симметрии, параллельный перенос, поворот вокруг прямой): определение, обозначение, способы задания, свойства, координатные формулы. Центр, ось и плоскость симметрии тела. Примеры тел, их имеющих. Фигуры вращения.
 
13. Классификации движений по родам и по количеству неподвижных точек. Теоремы о движениях, имеющих прямую или плоскость неподвижных точек. Определения и простейшие свойства винтового движения; скользящей симметрии; зеркального поворота.
 
14. Определение подобия в пространстве и общие свойства подобий. Гомотетия (определение, обозначение, способы задания, свойства, координатные формулы).
 
15. Понятие о группе преобразований фигуры и о видах симметрии в пространстве.