Принцип крайнего


Страница для печатиSend by emailPDF версия

Принцип крайнего

0.1. На окружности расставлено несколько чисел, причем каждое равно среднему арифметическому соседних с ним чисел. Докажите, что все числа равны.

0.2. На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что найдется ладья, бьющая не более двух других.

0.3. Докажите, что в любой компании из пяти человек найдется двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании.

1. Можно ли натуральные числа от 1 до 99 выписать в строку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50?.

2. В турнире по волейболу, прошедшем в один круг, 20 процентов всех команд не выиграли ни одной игры. Сколько было команд?

3. Существуют ли четыре числа, попарные разности между которыми равны 2, 2, 3, 4, 5 и 6?

4. В футбольной секции, кроме Пети, занимается 6 человек. У каждых двух из этих шести различное число друзей в секции. Сколько друзей у Пети?

5. Коля написал на доске 6 произвольных чисел. Докажите, что можно выбрать 2 из них, разность которых делится на 5.

6. На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что какую-то планету никто не наблюдает.

Дополнительные задачи

7. Двадцать солдат выстроены прямоугольником по 4 человек в каждом поперечном ряду и по 5 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий солдат, а затем из отобранных четырех человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий солдат, а затем среди отобранных пяти выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?

8. На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что любые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.